数学世界

二次曲线的退缩曲线，Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0表示两条直线（包括实直线和虚直线）的充分必要条件是：
|A B D|
|B C D|=0。
|D E F|
上面那个方阵是一个三阶行列式。
如果满足上面条件，有：
当AC-B^2>0时，二次曲线的类型是椭圆型的，也就是说此时两直线是两条相交虚直线（或者说是点椭圆）。
当AC-B^2<0时，二次曲线的类型是双曲型的，也就是说此时两直线是相交实直线。
当AC-B^2=0时，二次曲线的类型是抛物型的，也就是说此时两直线是平行直线或重合的直线。满足AC-B^2=0后，当(A+C)F-D^2-E^2<0时是一对平行实直线，当(A+C)F-D^2-E^2=0时是一对重合实直线，当(A+C)F-D^2-E^2>0是一对平行虚直线。

上面那些结论都来自二次曲线的一般理论。

数学世界

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、正北两点同时听到一声巨响，正东点比其他两点晚听到4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定巨响发生的位置。（声速：340m/s）

数学世界

从圆外一点可以向圆引两条切线，过切点的直线我们称之为此时圆的极线，请推导它的方程



圆方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
从M(x0,y0)作切线,设切点为（m,n)，
则切线方程：(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r^2
代入M点坐标：(m-a)(x0-a)+(n-b)(y0-b)=r^2
所以：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2为所求。

数学世界

从圆外一点可以向圆引两条切线，过切点的直线我们称之为此时圆的极线，请推导它的方程



圆方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
从M(x0,y0)作切线,设切点为（m,n)，
则切线方程：(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r^2
代入M点坐标：(m-a)(x0-a)+(n-b)(y0-b)=r^2
所以：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2为所求。

数学世界

函数f(x)=√(x^2 +1) - x ，证明函数f(x)在R上是减函数。

可以推出 f(x)=√(x^2 +1) - x =1/(√(x^2 +1)+x) ..

接下来该怎么做呢

数学世界

利用导数法最简单

函数f(x)=√(x^2 +1) - x 的导数是函数f/(x)=[1/2]*2x/[√(x^2 +1)] -1=x/ [√(x^2 +1)] -1,由于[√(x^2 +1)] >[√(x^2 ]=|x|>=x,所以x/[√(x^2 +1)] <1,从而f/(x)<0,故函数f(x)在R上是减函数。


f(x1)-f(x2)
=√(x1^2+1)-√(x2^2+1)
=[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)] [√(x1^2+1)+√(x2^2+1)] / [√(x1^2+1)+√(x2^2+1) ]
=[x1^2+1 -( x^2 +1)]/ [√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=x1^2 -x2^2 / [√(x1^2+1)+√(x2^2+1) ] <0

数学世界

已知双曲线C以直线X=1/2为准线,离心率为2,且恒过定点(1,0),①求双曲线C的实半轴长的取值范围;②当右焦点关于直线10x-2y-7=０的对称点在它的左准线上，且右焦点到右准线距离不小于１／２，求双曲线c的方程．

数学世界

下列命题中正确的有(      )
(1)平行于同一条直线的两个平面平行
(2)平行于同一个平面的两个平面平行
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
(4)垂直于同一个平面的两个平面平行
(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交
(6)若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行
(A) 2个       (B) 3个     (C) 4个     (D) 5个



1错,2对,3对,4错,5对,6对

数学世界

不等式(a^|x|)<a的解集为空集,求a的范围

数学世界

1.求x^4+6x^3+11x^2+3x+31=y^2的整数解
2.求(x/2+y/3+z/6)^2=(x^2/2)+(y^2/3)+(z^2/3)的整数解



1.
x^4+6x^3+11x^2+3x+31-(x^2+3x+1)^2=3(10-x)。

当x<10时，
x^4+6x^3+11x^2+3x+31<(x^2+3x+1)^2，
此时
x^4+6x^3+11x^2+3x+31-(x^2+3x)^2=2x^2+3x+31=2(x+3/4)^2+239/8，
即
x^4+6x^3+11x^2+3x+31>(x^2+3x)^2，
所以此时无整数解。

当x>10时，
x^4+6x^3+11x^2+3x+31>(x^2+3x+1)^2，
此时
x^4+6x^3+11x^2+3x+31-(x^2+3x+2)^2=-2x^2-9x+27<-263<0，
即
x^4+6x^3+11x^2+3x+31>(x^2+3x+2)^2，
所以此时无整数解。

当x=10时，y=±131。


2.
我怀疑(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/3应该是(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/6。
(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/3只有整数解x=y=z=0。
(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/6的整数解是x=y=z=a，a是任意整数。
___________________________________________________________________________
题目有错, 是(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/6
请问答案x=y=z=a怎么来的


把(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/6看作是z的二次方程，其判别式是-(x-y)^2乘一个正的常数，所以必须x=y，否则无实根，再解出z，这样就得到x=y=z。
求(x/2+y/3+z/6)^2=x^2/2+y^2/3+z^2/3的整数解是一样的方法。