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[其他] 竞赛题汇总。。。。

2015-2016学年郑州外国语学校校内竞赛高二数学试题选解(命题人:宋超老师)











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劳涅梅斯和塞瓦定理可以做,结合圆的性质
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从1.2.3···.80这80个数中至少取出多少个数,才能保证在取出的数中一定有两个数,一个数是另一个数的倍数。

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回复 4# mathworld

41,42,...,80共40个数,最大的80都不到最小的41的2倍。所以40不对。
还得用抽屉原理说明41可以,
穷举法把1~80划入40个集合,....
{1,2,4,8,16,32,64}---1个
{3,6,12,24,48}
{5,10,20,40,80}---2个
{7,14,28,56}
{9,18,36,72}---2个
{11,22,44}
{13,26,52}
{15,30,60}
{17,34,68}
{19,38,76}---5个
{21,42}
{23,46}
{25,50}
{27,54}
{29,58}
{31,62}
{33,66}
{35,70}
{37,74}
{39,78}---10个
{41},{43},.....,{79}---20个

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三位数abc被7整除,且a,b,c成公差非零的等差数列,则这样的数列共有几个?

不用枚举法怎么办?谢谢!


7|100a+10b+c
7|210a+21b
7|210a+21b-(200a+20b+2c)=10a+b-2c

10a+b-c*2=7k
a+c=2b
20b-10c=10a
21b-12c=7k
因此7|c
c=0或7
c=0时,a=2b,21b=7k,3b=k,而显然2<=k<=13,2/3<=b<=13/3,b=1、2、3、4
故有(a,b,c)=(2,1,0)、(4,2,0)、(6,3,0)、(8,4,0)
c=7时,21b=7k+84,3b=k+12,14/3<=b<=25/3,b=5、6、7、8,此时a=2b-7
有(a,b,c)=(3,5,7)、(5,6,7)、(7,7,7)、(9,8,7)
踢掉其中不满足的(7,7,7),总共7组解



受战版启发后
a=2b-c,  100a+10b+c=2a+3b+c=7b-c=-c(mod7)c=0或7
c=0,a=2b,0<2b<=9,,0<b<5,b=1,2,3,4.
c=7, a=2b-7, 0<2b-7<=9,,b=4,5,6,7(舍去),8.
共8组

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4.设集合S={1,2,3,...,12},A={a,b,c}是S的子集,且满足a<b<c,c-b<=5,那么满足条件的子集A的个数为          .
答案是C12,3-C7,3=185,   求解释,谢谢



本帖最后由 309777394 于 2013-8-8 19:41 编辑


总数:c13,3
c=12,c6,2不合乎
c=11,c5,2。。。
............
c=8,c2,2 。。。          c6,2+c52+c4,2+....+c2,2=c7,3  是不合乎的

故为c13,3-c7,3

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