三位数abc被7整除,且a,b,c成公差非零的等差数列,则这样的数列共有几个?
不用枚举法怎么办?谢谢!
7|100a+10b+c
7|210a+21b
7|210a+21b-(200a+20b+2c)=10a+b-2c
10a+b-c*2=7k
a+c=2b
20b-10c=10a
21b-12c=7k
因此7|c
c=0或7
c=0时,a=2b,21b=7k,3b=k,而显然2<=k<=13,2/3<=b<=13/3,b=1、2、3、4
故有(a,b,c)=(2,1,0)、(4,2,0)、(6,3,0)、(8,4,0)
c=7时,21b=7k+84,3b=k+12,14/3<=b<=25/3,b=5、6、7、8,此时a=2b-7
有(a,b,c)=(3,5,7)、(5,6,7)、(7,7,7)、(9,8,7)
踢掉其中不满足的(7,7,7),总共7组解
受战版启发后
a=2b-c, 100a+10b+c=2a+3b+c=7b-c=-c(mod7)c=0或7
c=0,a=2b,0<2b<=9,,0<b<5,b=1,2,3,4.
c=7, a=2b-7, 0<2b-7<=9,,b=4,5,6,7(舍去),8.
共8组 |