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剩余定理

我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：“今有物不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何．”这个问题一般称孙子问题．这个问题可译成：求被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数．《孙子算经》中记载了这个问题的解法，有人将其解法编成歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．”它的意思是用3除的剩余数乘70，用5除的剩余数乘21，用7除的剩余数乘15，将所得的结果相加再减去105的倍数，即可得所求数．算式是2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2＝23，所以，最小的正整数解是23．这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理．1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理．西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理．


“中国剩余定理”算理及其应用：


  为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。


例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。

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　心态好的人，发现别人的优点可以让自己更优秀，发现别人的缺点可以让自己更自信。但心态不好的人也许会有相反效果：发现别人的优点可以让自己更自卑，发现别人的缺点可以让自己更放纵。

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x+2y+5z=100，
这个不定方程的全部整数解是（这里有一个技巧：选用系数绝对值最大的一个变量作为参数，解出系数绝对值较小的两个变量）
x=-2t-5z+100，y=t，
其中t是整数，问题的解就是有多少个不同的点(z,t)，满足x、y、z都是非负整数。由x、y、z非负得到
0≤z≤20，0≤t≤-5/2·z+50。
（1）当z=2k（0≤k≤10）时，0≤t≤-5k+50，在此k的范围内t的取值范围不为空，共有-5k+50-0+1=-5k+51个不同的点(z,t)；
（2）当z=2k+1（0≤k≤9）时，0≤t≤-5k+47，在此k的范围内t的取值范围不为空，共有-5k+47-0+1=-5k+48个不同的点(z,t)。
所以非负数解的组数是
-5(s+10)+11×51-5s+10×48=541，
其中s=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

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我的解法若xyz中有2个数是 0那么有                                        3种
若x=0则z只能取小于20的偶数且y只对应一种                           9种
若y=0则z可以取小于20的整数且x相对固定                              19
若z=0则y可以取小于50的整数且x相对固定                                49
若z=19则y=1或2                                                                         2
z=18则y=1、2、3、4                                                                    4
z=17则y=1、2、3、4、5、6、7                                                   7
z=16则y=1、2……、9                                                                   9
…………
z=2则y=1……44                                                                       44
z=1则y=1……47                                                                         47
结果是541不知道对不对

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答案是541
等价于求2y+5z≤100的非负整数解
通过形数结合,设2y+5z=100的非负整数解有x个,算得x=11
结果为:
((50+1)*(20+1)+11)/2

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至于2y+5z=100的非负整数解有多少,可这样处理:
显然,y能被5整除,z能被2整除
于是,令y'=5y,z'=2z
也就是:y'+z'=10
其非负整数解的个数为11
再在yoz平面上,画出图形,原问题的解答就是(区域内的格点数+线段上的格点数(算得是11))/2

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设函数f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+6A+B,其中A，B，C满足
（1）3A<-B<=6A
（2）-8B+1<=12A+4C<=8B+9
求证，f(2sinx)>=0.其中1<=x<=pi
(注：<=即小于等于)

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因为是非零正整数解，所以，(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)+(e-1)+(f-1)+(g-1)+(h-1)+(i-1)+(j-1)=90
在90个球中，放9个隔板，利用乘法原理，共有C(99,9)种放法
或者可以看成是在99个球中选9个来做隔板

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存在正实数x使得不等式ln(x)/(x+1)>=ln[kx/(x+1)]恒成立，求实数k的取值范围


首先k必须是正数，然后构造函数
f(x)=lnx/(x+1)-ln(kx/(x+1))=lnx/(x+1)-ln(x/(x+1))-lnk，
然后求出
f'(x)=-lnx/(x+1)^2，
这样可以确定f(x)在(0,1)内是严格单调增函数，f(x)在(0,+∞)内是严格单调减函数，所以只需要求出x趋向0和x趋向+∞时f(x)的极限，使这两个极限都是非负数就行。而这两个极限都是-lnk，这样就得到0<k≤1。

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存在正实数x使得不等式ln(x)/(x+1)>=ln[kx/(x+1)]恒成立，求实数k的取值范围


首先k必须是正数，然后构造函数
f(x)=lnx/(x+1)-ln(kx/(x+1))=lnx/(x+1)-ln(x/(x+1))-lnk，
然后求出
f'(x)=-lnx/(x+1)^2，
这样可以确定f(x)在(0,1)内是严格单调增函数，f(x)在(0,+∞)内是严格单调减函数，所以只需要求出x趋向0和x趋向+∞时f(x)的极限，使这两个极限都是非负数就行。而这两个极限都是-lnk，这样就得到0<k≤1。