[函数] 周期函数

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对于函数 ，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数 叫做周期函数，并称T为函数f(x)的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有周期是存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

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三个结论
1.若函数y=f(x),(x属于R)的图象关于点P(a,yo)及直线x=b(a不等于b)对称,则y=f(x)是以4(b-a)为周期的函数.
2.若函数关于点P1(a,y0),P2(b,y0)  (b>a)对称,则函数的周期为2(b-a).
3.若函数图象关于直线 x=a,x=b(b>a)对称,则函数的周期为2(b-a).

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理解：
（1）周期函数的定义域一定是无限集（不一定是实数集），也可能有间断点。
（2）式子f(x+T)=f(x)对定义域中的一切x都成立。
（3）一个周期函数的周期不唯一，也不一定有最小正周期。
（4）若T为函数f(x)的周期，则KT(K为不等于0的整数) 也一定是f(x)的周期。

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函数的周期性
1、周期函数定义的三种表述方法
（1）文字表述法：
   如果对于定义域里的任意一个x,当它增加某一非零常数时，函数值都重复出现，则称函数为周期函数。如果所有周期中存在一个最小的正数，则称之为最小正周期。
（2）数学语言表述法：
对于函数 ，若存在非零常数T，对于任意 ，则称函数 为周期函数。
（3）图象语言表述法：  
如果函数的图象上的任意一段每隔相同的距离均重复出现，则称函数为周期函数。
2、定义的剖析
（1）周期函数的定义域至少一方无界。（2）周期函数不一定有最小正周期
（3）周期函数可能没有正周期。     （4）注意是自变量x增加T时函数值重复出现。
3、周期的求法
（1）、定义法：解关于T的方程f (x+T) – f (x) = 0;
例：求函数 的周期。
解：设周期为T，由定义有：
  对于任意的x∈R都成立。

故有 ，∴T＝12π。
（若关于T的方程f (x+T) – f (x) = 0无解，则f（x）不是周期函数。）

（2）       图象法：正确画出函数的图象,观察求解.
例：求函数 的一个周期。其中 表示不超过x的最大整数。
解：作出函数的图象，由图像可以看出T=－1是函数的一个周期。（没有正周期）
（3）       定理：若函数y=f（x）的图象有两条垂直于x轴的对称轴x=p和x=q （p>q）, 则 它是周期函数，T=2（p-q）是一个周期。
例：求函数 的一个周期。
解：由 k可知， 是 的图像的两条对称轴，故知 是函数的一个周期。
（4）利用已知函数的周期：若y=f(x)的周期是T，则y=f (ωx+φ)+b的周期为 。
4、证明最小正周期是T的方法
（1）       证明T是周期且证明小于T的正数不是周期。
例：求证： 的最小正周期是 。
证明：∵ ∴ 是周期。
设 ，且 对任意x∈R均成立，
取 ，则 ，这与 矛盾。
因此 任意满足 的 都不是函数的周期。所以最小正周期是
（2）图解法。
5、证明函数是非周期函数的方法：反证法
例：求证 不是周期函数。
证明：假设 是周期函数，则有T>0，
使得对于任意的x≥0, 都有 。
取x=0时有 ，∴ 。       ①
再取x＝ T > 0,有 ，∴   ②
由①、②得 （n、k∈Z）。③     
  ∵ 是有理数，∴③式不成立，
所以假设不成立，即 不是周期函数。
6、函数的周期性的应用举例
例：已知奇函数f(x)满足f (x+2) = f (-x) , 且当x∈(0,1) 时， 。求 的值。
解：由已知可得f (x+2) = f (-x ) = －f（x），
∴f（x＋4）＝f［（x＋2）＋2］＝－f（x＋2）＝f（x），∴4是f（x）的一个周期。

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f(x)分别满足a≠0)
(1)f(x+a)=-f(x);(2)f(x+a)=1/f(x);(3)f(x+a)=-1/f(x)
则f(x)的周期皆为2a.