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标题: [函数] 一个关于导数的问题 [打印本页]

作者: mathworld 时间: 2017-8-27 21:46 标题: 一个关于导数的问题

f(x)是一个定义在R上的连续函数并且可导
集合A由f(x)上任意不同两点连线的斜率组成
集合B由f(x)上的点的切线的斜率组成
试问f(x)需要什么条件可以使A=B
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注意：分别有两个例子
1:f(x)=x^3+x A≠B
2:f(x)=x^2 A=B
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作者: mathworld 时间: 2017-8-27 21:46

导函数连续且无界

作者: mathworld 时间: 2017-8-27 21:46

如果要满足A=B，那么必为其中之一：
(1). 若f ''(x)存在，则f ''(x)恒大于0，或f ''(x)恒小于0；
(2). 若存在t∈(a,b), s∈(b,c),且f ''(t)恒大于0，f ''(s)恒小于0，或f ''(t)恒小于0，f ''(s)恒大于0，那么x=b叫做f(x)的拐点，若存在拐点x=b, 则必存在c≠b，满足f '(c)=f '(b)，且x=c不是拐点.

例如:
f(x)=x^3+x, 存在拐点x=0, f '(0)=1, 但不存在c≠0，使得f '(c)=1. 则A≠B.
f(x)=x^2, 不存在拐点，f ''(x)=2,恒大于0. 则A=B.

作者: mathworld 时间: 2017-8-27 21:47

拐点是f '(x)的极值点~

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