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标题: [不等式] 一道简单的不等式 [打印本页]

作者: mathworld 时间: 2016-11-10 22:46 标题: 一道简单的不等式

若a ,b 是正实数，满足 $ ab - ( a + b ) = 3 $, 求 $ 2a + b $ 的最小值。

作者: mathworld 时间: 2016-11-10 22:58

解法一：构造二次函数
令 $  2 a + b = k,  $  $  ( k>0 ) $  $ \Rightarrow$  $b = k - 2 a $

带入 $ ab - ( a + b ) = 3 $  可得 $2 a ^2$ $ - ( k + 1 ) a + 3 + k =  0 $

以 a 为主元，结合题意 a 必存在

由二次函数知识可知，只需$\Leftrightarrow$

$ - \frac { - ( k + 1 )}{2} > 0$                         -----( 1 )

$\triangle $ $\geqslant$ 0                                  ------( 2 )

$\Rightarrow$    k $\geqslant$  4 $\sqrt {2}$  $ + 3 $  , 或  k $\leqslant$ $ - 4 $ $\sqrt {2}$  $ + 3 $  不合，舍去

作者: mathworld 时间: 2016-11-11 00:00

解法二：（由辽B爱好者1bk3提供解题思路：均值不等式）现整理如下：

由 $ ab - ( a + b ) = 3 $ ，可得  $ b =  \frac { 3 + a }{a - 1} $

则$ 2 a + b = 2 ( a  - 1 ) +  \frac {4}{a - 1} + 3  $  $ \geqslant$ $ 4 \sqrt {2}$  $ + 3$

( 当$ a = 1 +  \sqrt {2} $ 时取等)

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